ФУРЬЕ МОДЕЛИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
г Кулаичев А.П., 1995
ссылки при цитировании: Кулиичев. Методы и средства комплексного анализа данных. ИНФРА-М, 2006, 512 с, С.260-272

     Назначение. Данный метод разработан нами в 1995 г. как средство моделирования нестационарных временных рядов, имеющих выраженные гармонические составляющие. Фурье–модели, в отличие от большинства других, являются многоцелевым инструментом и могут применяться как для прогнозирования, так и для интерполяции, фильтрации и сглаживания временных рядов.
     Что касается прогнозирования, то основной творческой задачей является учет в модели детерминированной компоненты, присутствующей во временном ряду, и отбрасывание случайной компоненты или шума, который будет определять не среднее прогнозируемое значение, а его доверительный интервал. И для решения этой задачи фурье–модели предлагают логичную и понятную основу, в отличие, например, от ARIMA–моделей, где подбор значений параметров осуществляется часто простым перебором комбинаторики.

     Метод. Рассматриваемый метод основан на Фурье–преобразовании из временной области в частотную область (получение амплитудно–частотной АЧХ и фазочастотной ФЧХ характеристик) и обратно (восстановление исходного временного ряда по АЧХ и ФЧХ). Большим преимуществом Фурье–преобразования является то, что оно сохраняет всю информацию о процессе, а спектральное представление позволяет осознанно и осмысленно решить, какие гармонические составляющие по величине их амплитуд следует отнести к случайным, шумовым компонентам, а какие к закономерным. И если обратное преобразование полного спектра однозначно восстанавливает временной ряд, а любой прогноз является точным повторением временного ряда с его начала, то после удаления шумовых гармоник из АЧХ и ФЧХ обратное преобразование уже не будет стопроцентно повторять временной ряд, а адаптация (приближение) усеченной таким образом модели к временному ряду в частотной области делает и сам прогноз неповторяющимся.
     Кроме того, в данную процедуру введены средства учета (удаление–восстановление) тренда и скачков процесса, что позволяет ее применять напрямую к исходным временным рядам без их предварительных чисток, центрирования и нормирования.

     Методика. Предварительные преобразования позволяют скорректировать временной ряд, удалив из него тренд и скачки. Основными инструментами построения спектральной модели скорректированного подобным образом ряда являются:
     1) экспоненциальное усреднение его спектральных характеристик;
     2) последовательная фильтрация — удаление из спектра всех составляющих в заданном диапазоне частот;
     3) очистка спектра — удаление из него всех низкоамплитудных гармонических составляющих, не превышающих заданный уровень;
     4) адаптация усеченной таким образом спектральной модели.
Эти инструменты являются взаимодополняющими и их можно использовать независимо или же в произвольных комбинациях друг с другом.

     Усреднение. Для усреднения задается число последовательных делений временного ряда. Каждое деление определяет отрезок, вдвое короче предыдущего и примыкающий к концу временного ряда. При первом делении временной ряд разбивается пополам и берется последний отрезок. При втором делении временной ряд делится на четыре части и берется последний отрезок и так далее. На каждом отрезке независимо вычисляются частотные характеристики и производится их экспоненциальное усреднение, т. е. последующие отрезки имеют и большие веса. В результате в спектре в большей степени проявляются высокочастотные составляющие, характерные для временных отрезков, близлежащих к настоящему (к конечной точке временного ряда), с сохранением длинноволновых составляющих.

     Адаптация модели осуществляется посредством последовательного приближения к временному ряду по критерию наименьших квадратов трех параметров (амплитуда, фаза, частота) каждой ненулевой спектральной составляющей модели. Каждый из трех параметров итерационным образом изменяется так, чтобы достигнуть максимального приближения модели к временному ряду. Именно адаптация по частоте приводит к неповторению в прогнозе начала модели временного ряда.

    Фильтрацию и очистку спектра можно произвести несколько раз при нулевом прогнозе.

     Действия и результаты. Если в электронной таблице содержится несколько переменных, то нужно выбрать представляющую анализируемый временной ряд (см. бланк рис. 6.4). Последующие действия и результаты включают следующие шаги.

Рис. 6.1

Рис. 9.33. Бланк коррекции процесса

Рис. 9.34. Бланк параметров фурье–модели

     Для нивелирования тренда предлагаются две модели: линейная и параболическая. Применимость той или иной модели может быть предварительно оценена методом простой регрессии (разд. 10.2) с доступным там же прогнозированием. Следует подчеркнуть, что линейная модель часто является более предпочтительной, несмотря на отклонения процесса от линейности, поскольку эти отклонения будут автоматически учтены спектральной моделью.
     Скачки характеризуются экстраординарным значением производной (скорости изменения процесса). Для их удаления в поле ввода бланка рис. 9.32 следует задать уровень «нормальных» значений производной. Оценить этот уровень можно, вычислив предварительно производную и посмотрев на ее график (методом дифференцирования из разд. 9.4). Для более точной оценки полезно сохранить данные с графика в электронной таблице (кнопка «СохрГраф») и там изучить значения производной в цифровом виде. При нулевом значении уровня производной скачки не удаляются.
     Для процессов монотонного характера полезно дополнительно установить режим «сопряжения концов», который состоит в повторном удалении «псевдотренда» так, чтобы начальные и конечные амплитуды скорректированного процесса совпадали, иначе при прогнозировании может наблюдаться скачок в начале прогноза (вследствие математических свойств Фурье–преобразования). Для процессов с высокочастотными колебаниями сопряжение концов не обязательно, а иногда и нежелательно.
     График скорректированного временного ряда выдается для визуальной оценки и изучения. При неудовлетворительном результате коррекцию можно повторить.

     2. Оценочный график АЧХ. Оценку гармонических составляющих процесса для принятия решения о разделении детерминированных и шумовых составляющих легко произвести по графику амплитудно–частотной характеристики или амплитудного спектра (см. разд. 9.3). Шкала амплитуд на графике для удобства представлена в процентах от максимальной амплитуды.

     3. Параметры модели. После этого уже можно осмысленно определить необходимые параметры фурье–модели (бланк рис. 9.34):
– число шагов прогноза развития процесса (при нулевом значении этого параметра прогноз не строится);
– число делений временного ряда для экспоненциального усреднения спектра; значение 1 соответствует усреднению спектра со спектром отрезка в 1/2 длины временного ряда от его конца, значение 2 — с отрезками 1/2 и 1/4 длины временного ряда и т. д. (при значении 0 усреднение не производится, на длине отрезка менее 8 отсчетов усреднение автоматически завершается, поэтому строго контролировать верхний предел этого значения не требуется);
– верхняя и нижняя границы диапазона частот удаляемых спектральных составляющих (фильтрация), при нулевых значениях фильтрация не производится;
– амплитудный порог, ниже которого удаляются все спектральные составляющие (при нулевом значении удаление не производится);
– признак необходимости адаптации усеченной модели к временному ряду (при отсутствии признака адаптационный механизм не запускается, для полной спектральной модели адаптация эффекта не имеет);
– начальное время процесса и его временной шаг необходимы только для временной шкалы результатов прогнозирования, во всех других результатах время без ущерба для общности представляется последовательностью натуральных чисел.
     Нажатие на кнопку «Утвердить» продолжает дальнейший анализ в соответствии с установленными параметрами, а нажатие на кнопку «Отменить» приводит к завершению работы процедуры.
    Нулевые значения параметров соответствуют чистой фурье-модели, точно воспроизводящей временной ряд.
    Продолжение анализа зависит от наличия или отсутствия заказа прогнозирования.

     4. Результаты без прогноза. В случае отсутствия прогнозирования в качестве числовых результатов выдается последовательность значений временной модели анализируемого ряда и среднеквадратичного шума (характеризует отличие модели от исходного временного ряда), а также совместный график скорректированного временного ряда и его фурье–модели, т. е. без восстановления тренда и скачков). Для визуализации модели исходного временного ряда следует фиктивно заказать один шаг прогноза.
     Далее по подтверждению можно возвратиться к новым установкам параметров модели. Такой цикл позволяет последовательно удалять из модели отдельные спектральные составляющие.

     5. Анализ остатков. В случае наличия прогноза по подтверждению может быть произведен анализ остатков, т. е. разностей между моделью и временным рядом. В качестве числовых результатов выдается таблица значений следующих показателей (аналогично методу простой регрессии, см. разд. 10.1):

     6. Прогноз. Выдается таблица параметров фурье–модели, включающая следующие значения:

Рис. 9.9

Рис. 9.10

Рис. 9.35. График спектральной модели после удаления высокочастотных составляющих

Рис. 9.36. График фильтрации временного ряда авиаперевозок

Рис. 9.37. График спектральной модели после сезонной фильтрации

Рис. 9.38. Временной ряд авиаперевозок с прогнозом на 30 шагов

Рис. 9.39. График спектральной модели после удаления малоамплитудных составляющих

Рис. 9.40. Временной ряд авиаперевозок с фурье–моделью и с прогнозом на 30 шагов

Рис. 9.41. Фурье–модель с адаптацией

Рис. 9.42. Фурье–модель с адаптацией и двумя усреднениями

Рис. 9.43. Сравнение фурье–прогноза (треугольники) и ARIMA–прогноза (квадраты) с временным рядом авиаперевозок (пунктирная линия)

а — полиномиальный тренд

б — полиномиальный тренд

а — линейный тренд

б — полиномиальный тренд

Рис. 9.46. Ежемесячная динамика цен на нефть Брент с 2001 по 2004 гг.

а — линейный тренд

б — полиномиальный тренд

а — линейный тренд

б — полиномиальный тренд