О НЕСЧЕТНОСТИ НЕКОТОРОРЫХ ОРДИНАЛОВ
г Кулаичев А.П., 2007-2014
ссылки при цитировании:
Кулаичев А.П. Трансфинитные множества - пределы познания. журнал "Философия науки", №4, 2014, с.41-56 Download PDF
Kulaichev A. P. The Problem of Countability of Highest Ordinals. Pure and Applied Mathematics Journal. 2016. 5(4): 108-112. Download PDF
статья на английском языке

УДК 510.227

      Аннотация. В данной работе мы использовали альтернативное представление о структуре ординалов, согласно которому каждый ординал представляет собой объединение непересекающихся предшествующих отрезков ординалов одинаковой степени. Каждый ординал wn=w1xw2x...xwn представляется как wn=Uwji, i=n-j+1 для любого j=1,n-1 вместо традиционного объединения предшествующих пересекающихся отрезков ординалов последовательно возрастающих степеней wn=Uwi, i=1,n. Первое представление соотносится с геометрическим представлением ординалов в виде бесконечных n-мерных матриц. Согласно традиционной формулировке ww=Uwi, i=1,w, поэтому ww есть w-объединение счетных отдиналов, отсюда ординал ww счетен. Согласно же альтернативной формулировке ww=Uwni , i=1,ww для любого n, и ординал ww есть ww-объединение ординалов, поэтому выводы будут другими.
      Эти выводы следующие: 1)  доказательство счетности счетного объединения счетных ординалов не может быть прямо или индуктивно перенесено на его первое предельное ww-объединение; 2) ww представляется первым несчетным ординалом с мощностью эквивалентным мощности континуума; 3) последующие восходящие w-степени ординала ww, то есть ww^w, ww^(w^w), ... , соответствуют последующим  А2, А3, А4, ... кардиналам; 4) отсюда также следует прямое обоснование континуум-гипотезы.
      Наше исследование показывает, что в области трансфинитных множеств разные точки зрения с разными выводами имеют равное право на сосуществование подобно принципу дополнительности Нильса Бора в физике.
      Ключевые слова: теория множеств, ординальные числа, математическая индукция, абсолютная истина

1. ВВЕДЕНИЕ

      (1). Ординалы или множества ординального типа кроме обычных атрибутов, таких как мощность и вполне упорядоченность, обладают также и определенной структурой, поскольку состоят из последовательных отрезков. И точки зрения на структуру ординалов могут быть различными. Так в традиционной интерпретации ординал ww определяется как сумма или объединение счетного w-числа ординалов предшествующих степеней wi, откуда ww также полагается быть счетным, цитируем по [7, с.70]: «ww является счетным постольку, поскольку  ww = lim wi = lim{w1, w2, w3,…} есть число, которое в силу равенств 1+w = w, 1+w+w2 = w(1+w) = w2 и т.д. может быть записано в виде: ww = 1+w+w2++w3+… = Swn , n=1-w  ».
      Однако здесь совершенно упускается из виду, что суммирование ординалов в порядке их возрастания слева направо тождественно равно последнему справа (наибольшему) ординалу вследствие некоммутативности операции сложения для ординалов. Поэтому вышеприведенное выражение для ww является не доказательством, а тавтологией ww=ww.
      Можно найти и альтернативное рассуждение, цитируем по [6, с.259]: «Например, a = w2+w5+9 является разложением числа a по основанию w. Чтобы разложить то же число по основанию 2, достаточно заметить, что w = lim 2n = 2w. Тогда w2 = (2w)2 = 2w2,  w5 = 2w+2+2w, откуда a =  2w2+2w+2+2w+23+20. Тем же способом получаем ww = 2(w^2) ». Однако продолжая эти преобразования с учетом w2 = 2w2 = 4w = w, получаем «доказательство» ww = 2(w^2) = 2(4^w) = 2w = w.
      Этот взгляд на структуру ww существенно отличается от предыдущего, и оба они противоречат общепринятому описанию ординалов в нормальной форме Кантора [4, с.93]. Кроме того, в обоих случаях имеют место чисто формальные манипуляции с символами, а не содержательное рассмотрение вопроса, что нередко подвергается научной критике [1]. При этом сомнительно, что подобные формальные преобразования применимы к любым ординалам, включая и их трансфинитные степени, поскольку многие другие свойства операций с конечными числами не переносятся на ординалы, например: 1+w№w+1, 2w№w2 и т.п. Отметим также, что подобные формальные, индуктивные «доказательства» можно и далее преумножать, например: поскольку 2w = 4w = … = nw = w и ww = lim nw, то ww = w.
      (2). Кроме того, хорошо известно, что на вполне упорядоченных отрезках ординалов {a,...,b,...,c} многие свойства и формулы P(b), действующие для всех b<c, не переносятся на предельный ординал c. Примерами таких «непереносимых» свойств на отрезке {1,2,3,..., w} для предела w являются: Q(n) - «n есть конечнозначное число», но ШQ(w); S(n) – «n+1=1+n», но ШS(w); R(n) – «(n+1)/n>1», но ШR(w) и многие другие. Подобные «непереносимые свойства» имеют место и для ординалов трансфинитных степеней. В таких ситуациях доказательство P(c) должно производиться неиндуктивными средствами, что касается и свойства «ординал c является счетным».
      (3). Посмотрим на структуру ординалов с альтернативной точки зрения, когда каждый ординал является объединением непересекающихся отрезков. Тогда ординал w есть Un, n=1,w, ординал w2=Uwn, n=1,w, ординал w3 = Uw2n, n=1,w = Uwn, n=1,w2 и так далее. Наконец, ординал ww=Uwni , i=1,ww для любого i=1, 2, 3, ... . Мы видим, что любой ординал wi, i=1, 2, 3, ... в своем максимуме есть w-объединение ординалов wi-1. Но ординал ww не может быть в своем максимуие объединением ординалов ww-i поскольку ww-i=ww and for any i=1, 2, 3, ... . Отметим, что этот взгляд восходит к Канторову рассмотрению структуры ординала w2 [1]. Поэтому в случае ww мы наблюдаем скачок от всех w-счетных объединений до первого ww-объединения. Отсюда доказательство счетности  w-счетных объединений счетных ординалов не может быть прямо или индуктивно перенесено на это первое ww-объединение. Рассмотрим эту альтернативу последовательно.

2. ДВА МЕТОДА НУМЕРАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ ОРДИНАЛОВ

      Первый трансфинитный ординал w обозначает множество натуральных чисел, которое счетно по определению. Ординал w2 является предельным для множества 1, 2, 3, 4, ..., w, w+1, w+2, w+3,..., и доказательство его счетности производится прямым переупорядочиванием элементов этого множества, в результате чего она сводится в одной счетной последовательности 1, w, 2, w+1, 3, w+2, 4, w+3,... . Такой же метод применим и для последующих ординалов w3, w4, w5, ... .
      Для ординала w2, являющегося пределом последовательности w, w2, w3, ..., вышеуказанный метод прямого переупорядочивания неприменим, и доказательство его счетности (в его представлении как w2=Uwj, j=1,w) производится посредством перенумерации его элементов с использованием предложенной Кантором функции [3, с.34], которая впоследствии получила наименование функции сопряжения (pairing function):
p(i, j) = 0.5(i+j)( i+j+1)+j,                                                                                         (1)
где: p(i, j) – новый (натуральный) порядковый номер элемента;
        i – порядковый номер элемента в множестве wj;
        j – номера множества wj.
      Этот процесс в современной литературе иллюстрируется контрдиагональным пересчетом элементов w2, представленных в виде двумерной бесконечной матрицы.
     Для ординала w3 соответствующее множество может быть представлено 3-мерной бесконечной в трех направлениях матрицей. Для ординалов последующих степеней wn соответствующие множества представимы элементами n-мерных бесконечных матриц wn=Uwjk...n, j,k,…,n=1,w. И для таких ординалов возможны два различных метода доказательства их счетности.

     Метод 1 основан на контрдиагональном пересчете элементов множества wn по n-1–мерным контрдиагональным гиперплоскостям в представляющей множество wn n–мерной матрице. Этот пересчет описывается обобщением функции сопряжения (1), получившем название кортежной функции Кантора (tuple function) [10], определяемой рекурсивной формулой:

p(n)(i, j, k,...,n) = p(p(n-1)( i, j, k,...,n-1),n).                                                                    (2)
Для w3 мы имеем контрдиагональные плоскости в 3-мерной матрице. Для каждого последующего wn мы имеем n-1-мерные контрдиагональные гиперплоскости в соответствующих n-мерных матрицах.

      Method 2 базируется на пошаговом снижении размерности исходной матрицы, представляющей множество wn. Поскольку ординал w3 включает w ординалов w2 , то на первом шаге мы выполняем контрдиагональные пересчеты w 2-мерных w2-матриц, получая в результате одну w2 матрицу, которую на втором шаге таким же пересчетом сводим к одному счетному множеству натуральных чисел. Для доказательства счетности любого wn требуется выполнение n-1 подобных последовательных шагов снижения размерности исходной матрицы.

3. ДВА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ ВЫВОДА ОТНОСИТЕЛЬНО СЧЕТНОСТИ  ww

      Используя эти два метода можно придти к противоположным выводам относительно счетности ординала ww.

      Утверждение-1. Множество ординального типа  ww несчетно.
Доказательство.
      (1). Каждая контрдиагональная гиперплоскость в матрице ww имеет размерность ww-1, то есть ту же самую ww-размерность, что и ww. Поэтому уже на первой контрдиагонали проблема нумерации ее элементов возвращается к исходной проблеме нумерации множества ww и так далее бесконечно неразрешимо.
      (2). Для ww, являющегося пределом для ординалов wn при n=w, принимая во внимание ww-1=ww, получаем выражение кортежной функции:

p(w)(i, j, k,...,w) = p(p(w-1)(i, j, k,...,w-1), w) = p(p(w)(i, j, k,...,w), w),                                                (3)
что является неразрешимым уравнением. Это показывает, что для ww кортежная функция не существует и нумерация элементов ww не возможна.
         Тем самым утверждение-1 доказано с двух точек зрения.

         Мы можем сформулировать возражение и контр-возражение по этим рассуждениям.

      Возражение. Число элементов mn,k в каждой k=0,1,2,...-ой контрдиагональной гиперплоскости матрицы wn возрастает по закону фигурных чисел [8]:

mn,k =(k+1)(k(n-2)+2)/2,                                                                                                     (4)
Поэтому для любой k-контрдиагональной гиперпласкости в ww получаем:
mw,k = (wk +2) (k+1)/2 = (wk2+wk +2k+2)/2 = wk2+wk +k+1,                                                      (5)
например: mw,2=w5+3, mw,3=w10+4, mw,4=w17+5,..., mw,w=w3+w2+w+1.
Поскольку в ww имеется только w контрдиагональных гиперплоскостей, то ww является счетным объединением счетных множеств.

      Контр-возражения.
(1). Согласно формуле (5) ww является объединением w множеств, не более чем 3-ей степени. Это противоречит природе множества ww и противоречит нормальной форме Кантора [4].
(2). Кроме контрдиагональной нумерации элементов ww возможна альтернативная нумерация «по оболочкам», например, для 2-мерной бесконечной w2 матрицы:

1    2   5 10 ...
4    3   6 11 ...
9    8   7 12 ...
16 15 14 13 ...
...  ...  ... ... ...
Каждая k=0,1,2,3,.. оболочка в n-мерной wn матрице включает en,k=(k+1)n-kn элементов. Поэтому в ww матрице число элементов в каждой ее k-ой оболочке равно ew,k=(k+1)w-kw=w-w=0, следовательно и общее число элементов в ww равно нулю, что является абсурдом.

      Итак мы видим, что в зависимости от принятого способа пересчета следуют разные выводы относительно структуры или состава множества ww, а абсолютная истина не должна зависеть от принятого способа пересчета элементов ww матрицы.
      С другой стороны, это еще раз подтверждает отмеченное во введении: любая формула (или свойство), также как и формула (5), выведенная для натуральных чисел, не может быть прямо или индуктивно перенесена на их w предел.  Поэтому подобный перенос в вышеприведенном возражении некорректен, как и само это возражение.
      Отметим также, что доказательство (2) утверждения-1 не распространяет индуктивно свойство счетности предшествующих (натурально-числовых) степеней wn на их ww предел. Наоборот, оно ясно доказывает, что восходящее к Кантору правило нумерации элементов wn ординалов не может быть распространено на их ww предел.

      Утверждение 2. Множество ординального типа  ww счетно.
Доказательство основывается на  методе 2 пошагового снижения размерности бесконечной последовательности вложенных друг в друга матриц w2, w3, w4, ..., вплоть до ww.

     Мы можем привести четыре возражения по этим рассуждениям.

Возражения.
      (1). Это доказательство неявно использует индуктивную процедуру перенесения свойства  множеств w2, w3, w4, ... (пошаговое снижение размерности представляющих их матриц) на их недостижимый ww предел. Это может привести к некорректному выводу, как было неоднократно выше отмечено.
      (2). Чтобы доказать счетность w3 необходимо предварительно перенумеровать w копий w2 мариц в w3, получив в результате одну w2 матрицу, которая затем может быть перенумерацией сведена к одному счетному натуральному ряду, то есть требуется выполнить w+1 контрдиагональных перенумераций w2 матриц. Для w4 необходимо таким же образом перенумеровать w копий w3 матриц, всего выполнив w2+w+1 перенумераций w2 матриц. Для wn необходимо выполнить wn-2+*wn-3+...+w+1 подобных перенумераций w2 матриц. Наконец, для ww необходимо выполнить не менее ww-2=ww перенумераций w2 матриц. Тем самым для доказательства счетности ww необходимо выполнить такое же множество перенумераций, счетность которого и требуется доказать. Тем самым это доказательство, неявно использующее недоказанный предмет доказательства, не является убедительным.
     (3). Посмотрим на проблему с другой стороны. множество ww содержит не менее чем ww-2 составляющих его множеств w2. Тем самым если мы сведем каждое множество w2 к множеству w,  то получим множество ww-2, т.е.опять исходное ww, как неразрешимый "порочный круг".
      (4). Метод 1, базирующийся на кортежной функции Кантора (3), позволяет для каждого элемента из wn однозначно вычислить номер его позиции в результирующем натуральном ряде. Напротив, обратная кортежная функция позволяет однозначно разложить натуральный ряд в элементы множества wn. Метод 2 для каждого ординала wn делает абсолютно то же самое, то есть он формулирует некоторую другую кортежную функцию с теми же самыми свойствами. Но доказательство (2) утверждения-1 показывает, что для ординала ww кортежной функции не существует.

     Контр-возражений на приведенные 4 аргумента нам сформулировать не удалось.

      Итак, резюмируем. Мы рассмотрели два противоположных утверждения о счетности ординала  ww и их доказательства. По соотношениям возможных возражений и контр-возражений более убедительным является утверждение-1. Для окончательного выбора из этих двух альтернатив желательно обнаружить такое свойство ординала ww, исходя из используемой парадигмы его матричного представления, доказательство которого не может быть опровергнуто ни методом 1, ни методом 2.

4. КАРДИНАЛЬНОСТЬ ww

      Теорема. Мощность множества типа ww равна мощности множества всех подмножеств натурального ряда чисел или мощности континуума 2А0=с.
Доказательство.
      Множество всех подмножеств натуральных чисел включает: все подмножества из одного числа, все подмножества из двух чисел и так далее, до всех подмножеств из бесконечного количества натуральных чисел.
       С другой стороны, все подмножества из двух чисел представимы в двумерной бесконечной матрице w2, первая строка которой содержит подмножества из одного элемента:
{1}    {2}    {3}   {4}    {5} ...
{1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6} ...
{2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} ...
{3,4} {3,5} {3,6} {3,7} {3,8} ...
{4,5} {4,6} {4,7} {4,8} {4,9} ...
   ...      ...     ...      ...      ...   ...
      Все подмножества из трех чисел представимы в виде 3-мерной бесконечной матрицы w3, у которой первая плоскость содержит подмножества из одного и двух элементов. И так далее до множества всех подмножеств натуральных чисел, которое представимо бесконечной матрицей с бесконечным числом  измерений, которая соответствует ординалу ww.
      Тем самым теорема доказано.

      Следствие 1. Из данной теоремы вытекает обоснование гипотезы континуума, поскольку во всей предшествующей и монотонной последовательности трансфинитных счетных ординалов w,..., w2,..., w3,..., wn,... ординал ww является первым несчетным ординалом, и он соответствует кардинальности множества всех подмножеств натуральных чисел 2А0=с.  Тем самым его кардинальность является первой после А0, то есть А1.
     Следствие 2. Последующие ординалы восходящего ряда w-степеней от ww представляют множества подмножеств ординалов предыдущих w-степеней от ww, тем самым ординалы w(w^w), w(w^(w^w)), ... соответствуют кардинальным числам А2, А3, А4,… . Так в случае кардинала А2=2А1 следует применить доказательство теоремы к трансфинитной матрице размера ww вместо w и с числом измерений ww вместо w. Эта матрица и представляет ординал w(w^w) и так далее.
      Таким образом, различные взгляды на структуру множества ww приводят к ряду не совпадающих выводов, выбор из которых является предметом общественного соглашения, а не императивом абсолютной истины.

5. ОБСУЖДЕНИЕ

      На рубеже XX столетия в истории математики произошло знаменательное но малозаметное событие. До этого математики открывали или извлекали из некоторого источника абсолютные и незыблемые истины, подобные правилам умножения, квадратуре круга, преобразованию Фурье и т.п. Но в последнее трети XIX столетия в математике начали появляться теории и гипотезы. А любая теория представляет собой совокупность интуитивно или содержательно обоснованных исходных положений, предназначенных посредством определенных правил вывода логически убедительно объяснить некоторые свойства, закономерности или явления внешнего или внутреннего мира. При этом для подобного объяснения может существовать несколько различных теорий, и принятие той или иной теории является следствием не ее абсолютной истинности, а предметом общественного соглашения. То или иное социальное сообщество может предпочитать ту или иную теорию и следовать ей в соответствии со свободой своего выбора. Такое же положение имеет место и в отношении различных теорий бесконечных множеств.
      Кроме того, степень общественного признания различных теорий в области естественных наук определяется предсказательной адекватностью конкретной теории, поскольку эти предсказания обычно доступны для последующей экспериментальной проверки. Математика же не является наукой с возможностью экспериментальной проверки положений той или иной теории в области бесконечных множеств. Вместо экспериментальной проверки выводов математической теории единственным критерием ее истинности остается непротиворечивость ее выводов в рамках самой теории, а вовсе не наличие противоречий с выводами других теорий. В такой ситуации на степень общественного признания той или иной теории начинают оказывать влияние политические соображения и телеологические основания, далеко не всегда совместимые с бесстрастным научным подходом к доказательствам.
      Далее, любой результат в любой теории не может быть ошибочным только из-за того, что он противоречит другому результату в другой теории, исходящей из другой точки зрения и использующей другое доказательство Результат может быть ошибочным тогда и только тогда, если точка зрения ошибочна или доказательство содержит ошибки. Действительно, абсурдно опровергать теоремы эвклидовой геометрии на основании результатов сферической геометрии. В такой ситуации на степень публичного признания той или иной теории множеств начинают влиять профессиональные соглашения, политические мотивы и телеологические установки, которые далеко не всегда соответствуют непредвзятому научному подходу к доказательствам.
     Многочисленные тонкости таких профессиональных соглашений в области наиболее признанной теории множеств вынуждают некоторых профессоров и преподавателей открыто предупреждать свих слушателей о таких тонкостях в университетских учебниках [2, c. 33, 104]: "На самом деле мы уже приблизились к опасной границе, когда наглядные представления о множествах приводят к противоречию", "Тут мы опять подходим к опасной границе парадоксов и вынуждены выражаться уклончиво".
     К тому же подавляющее большинство современных математиков подчас крайне жестко и даже непримиримо избегает обсуждения содержательных, философских и логических оснований своей науки. Это не в последнюю очередь определено тем, что с середины ХХ в. в математике усиливается тенденция к углубляющейся формализации и изоляции различных, даже очень близких разделов, когда работающие в них математики перестают понимать творчество друг друга [5, с.482-530]. Одним из редких, но показательных примеров в этом плане является статья главного редактора престижного междисциплинарного журнала «Бюллетень символической логики» [9]. В самом начале этой статьи, предназначенной рассмотреть и опровергнуть основные направления критики теории множеств, много лет письменно поступающие в редакцию, предупреждается, что никаких конкретных примеров рассмотрено не будет, поскольку раскрытие неопубликованных материалов из частной переписки неоднократно становилось предметом судебных исков за нарушение авторских прав. Поэтому все «опровержения» в статье носят отвлеченный, умозрительный, неконкретизированный характер с рядом пространных привлечений не математических, а отрывочных психологических обоснований.
      Как было показано выше, вопрос о счетности или несчетности некоторых ординалов также зависит от конкретной точки зрения на структуру таких объектов. Так в наиболее популярной интерпретации согласно аксиоме возведения в степень ординалов считается, что ординал wn есть объединение или сумма пересекающихся отрезков ординалов предшествующих степеней, то есть wn=Uwi, i=1,n или wn=Swi, i=1,n [7], что восходит к нормальной форме Кантора [4]. В соответствии с этим ww=Uwi, i=1,w и ww видится как w-счетное объединение счетных пересекающихся ординалов, отсюда ww является также счетным. Но возможна и альтернативная точка зрения: wn=Uwji, i=n-j+1 для любого j=1,n-1, поэтому ww=Uwni, i=1,ww для любого n, поэтому ww есть ww-объединение предшествующих непересекающихся отрезков ординалов одинаковой степени, а это ведет к заключению, что ww является несчетным.
     Наше исследование показывает, что в области трансфинитных множеств  различные точки зрения и их результаты имеют равные права на сосуществование подобно принципу дополнительности Нильса Бора в физике. Принятие или отвержение той или иной точки зрения на структуру трансфинитных множеств есть не императив абсолютной истины, а предмет частного общественного соглашения (антропоморфизм).

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд В.И. Математическая дуэль вокруг Бурбаки. Вестник РАН, 72(3): 245-250, 2002.
2. Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. Изд. 2-е.— М.: МЦНМО, 2002.
3. Кантор Г. К учению о многообразиях (1878). В кн.: Кантор Георг. Труды по теории множеств.— М.: Наука, 1985.
4. Кантор Г. Основы общего учения о многообразия. Математически-философский опыт учения о бесконечном (1883). В кн.: Кантор Георг. Труды по теории множеств.— М.: Наука, 1985.
5. Клайн М.. Математика. Утрата определенности. — М.: РИМИС, 2007
6. Куратовский К., Мостовский Л. Теория множеств. М.: Мир, 1970.
7. Хаусдорф Ф.  Теория множеств. — М.: Либроком, 2007.
8. Deza, E., Deza, M.  Figurate Numbers. — World Scientific, 2011.
9. Hodges Wilerid. An editor recalls some hopeless papers. The Bulletin of Symbolic Logic, 4(1):1-16, 1998.
10. Lisi M. Some remarks on the Cantor pairing function. Le Matematiche, 62(1): 55-65, 2007.